Solución elástica de capa cargada superficialmente con efectos de tensión superficial y de par

Jan 31, 2024

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 1033 (2023) Citar este artículo

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En este estudio, se establece una solución elástica de una capa delgada con carga superficial axisimétrica que descansa sobre un sustrato rígido teniendo en cuenta la tensión superficial y los efectos microestructurales del material. Las soluciones derivadas proporcionan no solo un medio para investigar los efectos del tamaño en la respuesta mecánica, sino también un conjunto de soluciones fundamentales esenciales para abordar los problemas de contacto en una escala micro/nano. En la formulación, se adoptan las teorías de tensión de pareja y elasticidad superficial para simular la capa de volumen microestructurada y el material superficial, respectivamente. Primero se obtiene una solución general de un campo elástico dentro de la capa de volumen mediante el método de transformada de Hankel y luego se usa junto con las ecuaciones de superficie y las condiciones de contorno para formar un conjunto de condiciones esenciales para determinar todas las constantes desconocidas. Después de probarse por completo con las soluciones de referencia disponibles, los resultados se utilizan para estudiar el papel de las tensiones superficiales y de acoplamiento en el mecanismo de transferencia de carga al sustrato y su característica dependiente del tamaño para una amplia gama de escalas de longitud externas en relación con las escalas de longitud internas.

Se han encontrado recubrimientos para mejorar la superficie y las propiedades generales de los objetos en varias disciplinas, incluida la ciencia de los alimentos (p. ej., el envasado de alimentos, los utensilios de cocina y las encimeras matan bacterias/microbios, etc.), las construcciones de edificios (p. ej., el interior y el exterior de la casa). pinturas, muebles de interior, vidrios y revestimientos de fachadas para edificios de gran altura, etc.), vestuario (p. ej., ropa a prueba de manchas, traje de protección, etc.), vehículos y estructuras (p. ej., naves espaciales, aviones, automóviles, puentes, carreteras). marcas, embarcaciones marinas, etc.), una amplia variedad de recubrimientos de mantenimiento industrial y no industrial, y numerosos productos electrónicos y biomédicos. En los últimos años, las aplicaciones de la nanotecnología para mejorar el rendimiento de los revestimientos de superficies han crecido notablemente. Tales desarrollos y usos continuos de recubrimientos a nanoescala son el resultado directo de la creciente disponibilidad de materiales nanoestructurados/a nanoescala y avances en los procesos de recubrimiento. Por ejemplo, las nanopartículas de plata incrustadas en los textiles pueden matar las bacterias que causan el mal olor; los revestimientos de nanofibras en los textiles pueden detener la penetración de líquidos; los nanomateriales novedosos en las telas también pueden absorber la transpiración y eliminarla; y las nanopartículas de titanio incrustadas en los textiles pueden impedir que los rayos UV penetren a través de la tela, etc.1.

Se han llevado a cabo numerosas investigaciones para comprender el comportamiento fundamental de micro y nanoestructuras, como haces2,3, placas4,5, revestimientos superficiales6,7,8 e indentaciones9,10 a micro/nanoescala. La mayoría de los estudios existentes se pueden dividir en tres grupos principales en función de la metodología subyacente y el procedimiento empleado: uno asociado con investigaciones experimentales11,12,13 y los otros dos relacionados con estudios discretos14,15,16,17,18 y continuos. modelos matemáticos. En las últimas décadas, las simulaciones basadas en modelos matemáticos continuos se han ofrecido progresivamente como alternativas viables. Varias teorías de la elasticidad dependiente del tamaño, como la teoría de la tensión de pareja19,20,21,22,23, la teoría de la elasticidad basada en el gradiente de deformación24,25, la teoría de la elasticidad de la tensión superficial26,27,28 y la teoría de la elasticidad no local29,30 ,31, se han propuesto para dar cuenta de la influencia de las estructuras materiales a pequeña escala de manera continua. Aunque los resultados y hallazgos de los modelos matemáticos se consideran solo a partir de la primera estimación de respuesta aproximada, estas tendencias predichas se pueden usar para proporcionar datos preliminares para experimentos más precisos.

Se estudian ampliamente los problemas fundamentales de la mecánica de sólidos a escalas micro/nano, especialmente aquellos que involucran cargas superficiales y contactos. Varios grupos de investigadores han estudiado los efectos dependientes del tamaño utilizando diversas teorías. Las teorías basadas en tensiones de pareja, en las que se introduce una medida de deformación adicional denominada curvatura junto con su par conjugado conocido como tensiones de pareja, se utilizan comúnmente en la literatura para simular la influencia de microestructuras materiales de objetos a pequeña escala. La teoría original del estrés de pareja (indeterminada) fue propuesta por Mindlin y Tiersten19, Toupin20,21, Mindlin22 y Koiter23 y ha recibido atención de los investigadores debido a su capacidad para abordar problemas a microescala. Muki y Sternberg6 aplicaron por primera vez la teoría para investigar el papel de las tensiones de par en la respuesta de un semiplano elástico bajo cargas superficiales y contactos simples. Desde entonces, los estudios se han ampliado significativamente para manejar escenarios más complejos, incluidos problemas de sangría32,33,34,35,36,37 y medios en capas38,39,40,41,42. La extensión no trivial a casos tridimensionales también ha sido documentada43,44,45,46. No obstante, el número de estudios es aún relativamente bajo en comparación con el de los problemas bidimensionales.

La teoría de la elasticidad de la superficie/interfaz es uno de los marcos disponibles ampliamente adoptados para simular la respuesta mecánica de objetos de pequeña escala en los que se observa que la energía libre de la superficie es significativa. La sólida base matemática de dicha teoría fue establecida por Gurtin y sus colaboradores26,27,28 siguiendo la idea fundamental de Gibbs47 y su capacidad de modelado en comparación con simulaciones estáticas moleculares y atomísticas ha sido confirmada por varios estudios48,49,50 . Dentro del contexto de la mecánica de superficies, las aplicaciones de dicha teoría para estudiar las respuestas cercanas a la superficie también han sido bien reconocidas; por ejemplo, problemas relacionados con medio plano, medio espacio y medios en capas bajo cargas superficiales (por ejemplo, 7, 8, 51, 52, 53, 54) y contactos superficiales 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62. Los resultados de los estudios existentes han confirmado el papel significativo tanto de la tensión superficial residual como de la elasticidad de la superficie en las respuestas predichas y las características dependientes del tamaño a medida que las escalas de longitud externas relevantes se vuelven comparables con la escala de longitud intrínseca de la superficie del material. En escalas tan pequeñas, es evidente la necesidad de reemplazar la teoría convencional de la mecánica independiente del tamaño con modelos capaces de tener en cuenta los efectos del tamaño.

Si bien se ha considerado que tanto la microestructura de los materiales a granel como la energía libre de la superficie son responsables de las características dependientes del tamaño de la respuesta de los medios homogéneos y en capas de micro/nanoescala, trabaje hacia la integración de ambos efectos en las simulaciones, dentro del continuo basado en el marco, ha sido todavía relativamente pocos. Recientemente, Le et al.63 y Le et al.64 aplicaron las teorías de la elasticidad superficial y de la tensión de acoplamiento para investigar la respuesta dependiente del tamaño de un semiplano homogéneo excitado por cargas superficiales e indentadores planos inclinados, respectivamente. Lawongkerd et al.65 lograron la extensión para tratar un medio espacio homogéneo con carga superficial que tuviera en cuenta tanto el par como las tensiones superficiales. En los estudios mencionados anteriormente, se demostró claramente que ambos efectos son significativos cuando las escalas de longitud interna de los materiales a granel y superficiales son comparables. Los efectos simultáneos deben tenerse en cuenta en el modelado cuando las escalas de longitud externas relevantes se encuentran dentro del rango de las dos escalas de longitud del material. Si bien el papel de las tensiones de la superficie y del par se exploró ampliamente en las investigaciones anteriores, el medio se modeló mediante un medio plano o un medio espacio homogéneo, y tales configuraciones simplificadas claramente plantean una limitación clave en sus aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la respuesta clave y las características de los objetos revestidos con una capa de revestimiento muy delgada bajo excitaciones superficiales (p. ej., el mecanismo de transferencia de carga al sustrato revestido y la influencia del espesor de la capa de revestimiento) no son posibles con configuraciones tan limitadas. Sobre la base de una extensa encuesta bibliográfica, los autores desconocen cualquier desarrollo adicional de los estudios mencionados.

En el presente estudio, se investiga una respuesta elástica dependiente del tamaño de una capa de material con carga superficial que descansa sobre un sustrato. Tanto la energía libre de la superficie como las microestructuras del material a granel se tienen en cuenta en el modelado como las responsables de los efectos de tamaño. El tratamiento de un medio como una capa de espesor finito amplía claramente sus aplicaciones prácticas de los casos de semiplano y semiespacio disponibles, especialmente para estudiar problemas de recubrimiento de superficies. Además de su contribución directa para obtener una comprensión profunda de la respuesta mecánica de un medio de capa muy delgada, los resultados establecidos forman una base esencial y suficiente para el desarrollo de un esquema de solución para abordar los problemas de contacto con la superficie.

Considere una capa elástica tridimensional de espesor finito h (que representa una capa delgada de recubrimiento) que descansa sobre un sustrato rígido (que representa un sustrato recubierto) como se muestra esquemáticamente en la Fig. 1. La capa consta de una parte a granel, que está hecha de un material homogéneo, isotrópico, linealmente elástico que posee microestructuras, y una parte superficial, que está perfectamente adherida a la parte superior del bulto y tiene sus propias propiedades. La capa está cargada en la superficie superior por tracción normal \(p\), tracción de corte \(q\) y tracción de par \(m\) distribuidas axisimétricamente sobre una región circular de radio \(a\) y libre de tracción en otra parte. En el esquema de formulación y solución que se presenta más adelante, un sistema de coordenadas cilíndricas de referencia \(\{ O;r,\theta ,z\}\) con el origen O ubicado en el centro de la región de carga, el eje r dirigido a lo largo de se emplea la dirección infinita de la capa y el eje z dirigido hacia abajo.

Esquema de una capa elástica tridimensional de base rígida y sujeta a cargas superficiales axisimétricas distribuidas arbitrariamente.

Para simular la respuesta elástica del material a granel con microestructuras, se adopta una teoría de tensión de par fundamental propuesta por Mindlin y Tiersten19 y Koiter23. Las ecuaciones básicas (es decir, ecuaciones de equilibrio, leyes constitutivas y cinemática) que gobiernan el campo elástico bajo la deformación axisimétrica y la fuerza y ​​el par del cuerpo cero están dadas por66,67

donde \(\{ \sigma_{rr} ,\sigma_{\theta \theta } ,\sigma_{zz} ,\sigma_{rz} ,\sigma_{zr} \}\) son componentes de fuerza-esfuerzo distintos de cero; \(\{ m_{r\theta } ,m_{\theta r} ,m_{z\theta } ,m_{\theta z} \}\) son componentes de tensión de pareja distintas de cero; \(\{ \varepsilon_{rr} ,\varepsilon_{\theta \theta } ,\varepsilon_{zz} ,\varepsilon_{rz} ,\varepsilon_{zr} \}\) son componentes distintas de cero de un tensor de deformación infinitesimal , \(\{ u_{r} ,u_{z} \}\) son componentes distintas de cero del vector de desplazamiento; \(\Omega_{\theta }\) es un componente distinto de cero del tensor de rotación, \(\{ \kappa_{r\theta } ,\kappa_{\theta r} ,\kappa_{z\theta } \} \) son componentes distintas de cero del tensor de curvatura; \(\lambda\) y \(\mu\) son constantes de Lamé definidas de la misma manera que en la elasticidad lineal clásica; y \(\eta\) y \(\eta^{\prime}\) denotan las constantes materiales que explican la presencia de tensiones de par. Vale la pena señalar que \(\eta\) y \(\eta^{\prime}\) son parámetros materiales adicionales responsables del efecto de escala de longitud (es decir, la presencia de microestructura material) y, si estas constantes desaparecen, la teoría de la tensión de par se reducirá de forma idéntica a la elasticidad lineal clásica.

La superficie de un material adherido a la parte superior del bulto se modela mediante la teoría de la elasticidad superficial propuesta por Gurtin y Murdoch26, Gurtin y Murdoch27 y Gurtin et al.28. Para un caso axisimétrico, los desplazamientos superficiales distintos de cero \(\{ u_{r}^{s} ,u_{z}^{s} \}\), las deformaciones superficiales distintas de cero \(\{ \varepsilon_{ rr}^{s} ,\varepsilon_{\theta \theta }^{s} \}\), y las tensiones superficiales distintas de cero \(\{ \sigma_{rr}^{s} ,\sigma_{\theta \theta }^{s} ,\sigma_{rz}^{s} \}\) se rigen por

donde \(\tau^{s}\) denota la tensión superficial residual; \(\lambda^{s} ,\mu^{s}\) son constantes de superficie de Lame; y \(t_{r}^{s} ,t_{z}^{s}\) son tracción radial y vertical que actúa sobre la parte de la superficie por la capa de volumen. Combinando Ecs. (4)–(6) produce las ecuaciones de equilibrio en términos de los desplazamientos superficiales \(u_{r}^{s} ,u_{z}^{s}\) como

donde \(\kappa^{s} = 2\mu^{s} + \lambda^{s}\) y se ha utilizado el hecho de que la tensión superficial residual \(\tau^{s}\) es espacialmente independiente. .

Dado que la parte superficial está perfectamente adherida a la capa de volumen, los desplazamientos superficiales \(\{ u_{r}^{s} ,u_{z}^{s} \}\) y las tracciones \(\{ t_{r }^{s} ,t_{z}^{s} \}\) se puede relacionar con los desplazamientos y los componentes de tensión de la capa aparente mediante

Aplicando las condiciones de continuidad Ecs. (9) y (10) junto con las ecuaciones de superficie. (7) y (8), conduce a un conjunto de condiciones de contorno no clásicas en la superficie superior de la capa de volumen:

Dado que la parte de la superficie se considera infinitesimalmente delgada y no tiene resistencia a la flexión, la tracción de par aplicada \(m(r)\) en la parte superior del sistema de superficie a granel se transmite directamente a la capa a granel y esto produce una condición límite adicional:

Las condiciones de contorno en la parte inferior de la capa de volumen se pueden expresar fácilmente como

Las ecuaciones (11) a (16) forman un conjunto completo de condiciones de contorno para la capa de volumen que tiene en cuenta los efectos de superficie.

Para obtener la solución de forma cerrada de un campo elástico dentro de la capa de volumen, se adopta un método de transformada de Hankel junto con la representación del campo de desplazamiento. En particular, los desplazamientos verticales y radiales de la capa de volumen que sufre la deformación axisimétrica admiten las siguientes representaciones66,67

donde \(\alpha = (\lambda + \mu ){/}2(\lambda + 2\mu )\); \(\ell = \sqrt {\eta {/}\mu }\) representa la escala de longitud del material a granel; \(\Delta\) es un operador laplaciano axisimétrico; \(\Psi = \Psi (r,z)\) y \(\Phi = \Phi (r,z)\) son ambas soluciones de la siguiente ecuación:

La solución general de forma cerrada de la ecuación. (19) se puede establecer fácilmente aplicando el método de transformada de Hankel54,65,68 y los resultados finales están dados por

donde \(J_{m}\) denota la función de Bessel de primer tipo de orden m; \(\xi \in [0,\infty )\) es un parámetro de transformación; \(\zeta = \sqrt {1 + \ell^{2} \xi^{2} }\); y \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\) son coeficientes desconocidos. Las soluciones generales de los desplazamientos \(\{ u_{r} ,u_{z} \}\), la rotación \(\Omega_{\theta }\), las componentes de tensión de fuerza \(\{ \sigma_{rr} ,\sigma_{\theta \theta } ,\sigma_{zz} ,\sigma_{rz} ,\sigma_{zr} \}\), y los componentes de tensión del par \(\{ m_{r\theta } ,m_{ \theta r} ,m_{z\theta } ,m_{\theta z} \}\) puede obtenerse sustituyendo las Ecs. (20) y (21) en las ecuaciones. (17), (18), (2) y (3). Las expresiones explícitas para el campo elástico completo dentro de la capa de volumen, en términos de los coeficientes desconocidos \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\), se informan en el Apéndice complementario para el aras de la brevedad.

Haciendo cumplir las condiciones de contorno dadas por las Ecs. (11)–(16) junto con las soluciones generales para \(\{ u_{r} ,u_{z} ,\sigma_{zz} ,\sigma_{zr} ,m_{z\theta } \}\) dadas en el Apéndice complementario, produce el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas lineales para determinar los coeficientes desconocidos \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\):

donde \({\varvec{C}} = \{ \begin{array}{*{20}c} {C_{1} } & {C_{2} } & \cdots & {C_{6} } \\ \end{array} \}^{T}\) y la matriz de coeficientes \({\varvec{A}}(\xi )\) y el vector \({\varvec{F}}(\xi )\) están dadas explícitamente por

con \(h_{1} = 1/2 - \ell^{2} \xi^{2}\), \(h_{2} = \alpha h + \ell^{2} \xi\), \ (h_{3} = \alpha h - \ell^{2} \xi\), \(h_{s} = \ell^{2} \tau^{s} \xi^{3} + \alpha \ tau^{s} \xi - \tau^{s} \xi\), y

La solución del sistema (Ec. 22) para cada \(\xi \in [0,\infty )\) se puede obtener numéricamente a través de solucionadores lineales estándar. Una vez que \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\) se resuelven, el campo elástico dentro de la capa de volumen se puede obtener a partir de las ecuaciones complementarias. (A1)–(A12). Para evaluar todas las integrales impropias involucradas, se adopta una regla de cuadratura eficiente similar a la empleada por Rungamornrat et al.54 y Lawongkerd et al.65.

Los resultados calculados para ciertos casos se comparan primero con las soluciones de referencia existentes para verificar tanto la formulación como el procedimiento de solución. Posteriormente se investiga la influencia de las tensiones superficiales y de acoplamiento en el campo elástico dentro de una fina capa de material bajo diversas cargas superficiales. Para demostrar claramente los efectos individuales y simultáneos en las características dependientes del tamaño, los resultados de cuatro modelos diferentes (es decir, Modelo-1 con efectos de tensión de pareja y de superficie, Modelo-2 con solo efecto de superficie (es decir, \(\ell \to 0\)), Modelo-3 con solo efecto de estrés de par (es decir, \(\tau^{s} ,\kappa^{s} \to 0\)), y Modelo-4 sin efectos de estrés de superficie y de par (es decir , \(\tau^{s} ,\kappa^{s} ,\ell \to 0\))) se reportan y comparan. Para mayor comodidad en las simulaciones y presentación de resultados, siguiendo las coordenadas y parámetros normalizados \(\overline{r} = r{/}\Lambda\), \(\overline{z} = z{/}\Lambda\), \( \overline{a} = a{/}\Lambda\), \(\overline{h} = h{/}\Lambda\), \(\overline{\tau }^{s} = \tau^{s } {/}2\mu \Lambda\), y \(l_{0} = \ell /\Lambda\) con \(\Lambda = \kappa^{s} {/}2\mu\) indicando la longitud escala de la superficie del material se introducen.

En el estudio numérico se emplean los parámetros del material reportados por Miller y Shenoy48 y Shenoy49. En particular, las constantes de Lamé del material a granel se toman como \(\lambda = 58,17 \times 10^{9} {\text{ N/m}}^{2}\) y \(\mu = 26,13 \times 10 ^{9} {\text{ N/m}}^{2}\), mientras que las constantes superficiales de Lamé y la tensión superficial residual se toman como \(\lambda^{s} = 6,8511{\text{ N/m} }\), \(\mu^{s} = - 0,376{\text{ N/m}}\), y \(\tau^{s} = 1{\text{ N/m}}\), respectivamente.

Considere primero un medio espacio elástico sujeto a una tracción normal uniformemente distribuida \(p_{0}\) sobre una región circular de radio \(a\) como se ilustra en la Fig. 2a. Para simular el medio del medio espacio dentro de la configuración actual, se considera que el grosor de la capa es lo suficientemente grande en comparación con \(a\) y se considera la relación \(h{/}a = 1000\) en el análisis . Los resultados del componente de tensión de fuerza \(\sigma_{zz}\) y el componente de tensión de par \(m_{\theta r}\) frente a la relación \(a{/}\ell\) se comparan con los informados por Lawongkerd et al.65 en la figura 3 para \(z{/}a = 0,25\), \(r/a = 0,5\) y \(l_{0} = 1\). Se ve que los resultados calculados están en excelente acuerdo con las soluciones de referencia para los cuatro modelos.

(a) Medio espacio elástico bajo tracción normal uniformemente distribuida; (b) capa elástica que descansa sobre un sustrato rígido bajo tracción normal uniformemente distribuida (Caso A) y Hertziana (Caso B); y (c) una capa elástica que descansa sobre un sustrato rígido bajo una tracción de corte radial distribuida linealmente (Caso C) y distribuida cuadráticamente (Caso D) sobre una región circular de radio \(a\).

Variaciones de (a) tensión vertical normalizada y (b) tensión de par normalizada de una capa elástica infinita bajo tracción normal uniformemente distribuida para \(z{/}a = 0,25\), \(r/a = 0,5\) y \ (l_{0} = 1\).

Se lleva a cabo otra verificación para una capa elástica bajo una tracción normal uniformemente distribuida \(p_{0}\) que actúa sobre una región circular de radio \(a\) que se muestra en la Fig. 2b para el caso de carga A. Resultados para este particular El problema fue reportado por Rungamornrat et al.54 para el caso clásico y el caso con solo efecto de estrés superficial. Para simular estos dos casos especiales, los parámetros \(\tau^{s} ,\kappa^{s} ,\ell\) y \(\ell\) se toman lo suficientemente pequeños para cada escenario. Los desplazamientos de superficie calculados (es decir, \(\overline{z} = 0\)) se muestran en la Fig. 4 para \(\overline{a} = 10\) y \(\overline{h} = 10\) y los componentes de tensión a la profundidad normalizada \(\overline{z} = 0.25\) se muestran en la Fig. 5 para \(\overline{a} = 1\) y \(\overline{h} = 10\). La buena concordancia entre los dos conjuntos de resultados confirma adicionalmente la validez del esquema propuesto y las soluciones derivadas.

Perfiles de desplazamiento normalizados de una capa elástica infinita bajo tracción normal uniformemente distribuida: (a) desplazamiento radial y (b) desplazamiento vertical.

Perfiles de tensión normalizados de una capa elástica infinita bajo tracción normal uniformemente distribuida: (a) tensión vertical, (b) tensión radial, (c) tensión de corte y (d) tensión circunferencial.

En esta sección, se informan los resultados de un estudio paramétrico para demostrar el papel de las tensiones superficiales y de acoplamiento en la respuesta prevista y el comportamiento dependiente del tamaño de un sustrato revestido por una capa delgada bajo cargas superficiales. En particular, las características de transferencia de carga desde la superficie del revestimiento al sustrato y la influencia del espesor de la capa de revestimiento son de interés primordial. Para explorar también la influencia de las cargas aplicadas y su distribución, un sistema revestido sujeto a cuatro cargas superficiales representativas que actúan sobre una región circular de radio \(a\) que se muestra en la Fig. 2b,c (es decir, el Caso A para una distribución normal uniformemente distribuida) tracción \(p(r) = p_{0}\), caso B para la tracción normal hertziana \(p(r) = p_{0} \sqrt {1 - (r{/}a)^{2} } \), Caso C para una tracción de corte radial distribuida linealmente \(q(r) = q_{0} r/a\), y Caso D para una tracción de corte radial distribuida cuadráticamente \(q(r) = q_{0} (r{/}a)^{2}\)) se consideran. En simulaciones, los siguientes parámetros de material \(E = 76{\text{GPa}}\), \(\nu = 0,3\), \(\kappa^{s} = 1,22{\text{ N/m}} \) y \(\tau^{s} = 0.89{\text{ N/m}}\)48,49 a menos que se indique lo contrario. Nótese además que solo se investiga el caso de efectos comparables de la tensión superficial y del par y, para simular tal escenario, las dos escalas de longitud del material \(\ell,\Lambda\) se toman como \(l_{0} = 1\) . La discusión completa sobre los dos efectos de tamaño para una amplia gama de la relación \(\ell {/}\Lambda\) se puede encontrar en el trabajo de Le et al.63 y Lawongkerd et al.65.

Para demostrar la intensidad de la transferencia de carga al sustrato revestido, la tensión vertical \(\sigma_{zz}\) para el caso de carga A y el caso de carga B y la tensión de corte \(\sigma_{zr}\) para el caso de carga C y el caso de carga D se muestran en la Fig. 6 para \(z{/}a = 1\), \(h{/}a = 1\) y \(a{/}\ell \in \{ 0,01 ,1,100\}\). Se considera que tres valores de la relación \(a{/}\ell\) representan casos en los que el tamaño de una región de carga (que representa la escala de longitud externa) es mucho menor, comparable y mucho mayor que la longitud de los dos materiales. escamas. Tenga en cuenta que tanto las tensiones verticales como las de corte están normalizadas por la intensidad máxima de las cargas superficiales aplicadas para observar claramente el papel de la capa de recubrimiento en la reducción de las tensiones de transferencia al sustrato. Para los dos primeros casos de carga (es decir, caso de carga A y caso de carga B), la tensión vertical normalizada alcanza la magnitud máxima en el centro de la región de carga y decae monótonamente a cero a medida que \(r{/}a\) aumenta para todos los modelos y valores de \(a{/}\ell\) (ver Fig. 6a–c). A medida que el tamaño de la región de carga se vuelve comparable con las escalas de longitud del material a granel y de la superficie, la transferencia de tensiones verticales al sustrato es claramente diferente para los cuatro modelos (ver Fig. 6b). Tal hallazgo confirma el importante papel de las tensiones superficiales y de par cuando \(a\) cae dentro del rango de \(\ell,\Lambda\). Claramente, el Model-2 y el Model-3 no se pueden usar como reemplazo del Model-1. Además, la presencia de efectos de tensión superficial y de acoplamiento reduce claramente la tensión máxima de transferencia al sustrato en comparación con el caso clásico; en particular, el Modelo-1 produce el menor valor de la máxima tensión de transferencia. Cuando \(a\) es mucho menor que \(\ell,\Lambda\) (ver Fig. 6a), el Modelo-2 y el Modelo-3 aún predicen respuestas de manera diferente al caso clásico, pero el efecto de las tensiones superficiales es más acentuado que el de la pareja subraya. Las tensiones verticales de transferencia obtenidas del Modelo-1 y el Modelo-2 son comparables pero muy diferentes de las del Modelo-3 y el Modelo-4. Estos resultados sugieren que el Modelo-2 se puede usar en lugar del Modelo-1 para simplificar los cálculos cuando \(a \ll \ell \sim \Lambda\). Cuando \(a\) es mucho mayor que \(\ell,\Lambda\) (ver Fig. 6c), las tensiones de la superficie y del par juegan un papel insignificante en la respuesta prevista; en particular, los resultados del Modelo-1, Modelo-2 y Modelo-3 son casi idénticos a las soluciones clásicas. Para este rango de escalas de longitud externa y material, el Model-4 se considera suficiente para simular la respuesta de interés. Vale la pena señalar que cambiar la distribución de las tracciones normales aplicadas no altera las características de respuesta excepto por la diferencia en magnitud resultante de la diferencia en la tracción resultante. Para el caso de carga C y el caso de carga D, la magnitud del esfuerzo cortante normalizado \(\sigma_{zr} {/}q_{0}\) que se transfiere al sustrato aumenta desde cero en el centro de la región de carga hasta su máximo en \(r{/}a \in [0.5,1]\) y luego decae asintóticamente a cero a medida que \(r\) aumenta (ver Fig. 6d–f). Vale la pena señalar que para estas condiciones de carga, el papel de los esfuerzos superficiales sobre el esfuerzo cortante máximo de transferencia es opuesto al de los esfuerzos de par. Específicamente, las tensiones superficiales (el Modelo 2) tienden a reducir el esfuerzo cortante de transferencia máximo del caso clásico, mientras que los esfuerzos de par aumentan claramente dicho máximo y también cambian la dirección del esfuerzo cortante. Al comparar los resultados de tres valores diferentes de \(a{/}\ell\) y dos distribuciones diferentes de las cargas de corte aplicadas, se puede llegar a una conclusión similar para el caso de carga A y el caso de carga B. En particular, a medida que el tamaño de la región de carga se reduce para ser comparable a (o mucho menor que) las dos escalas de longitud \(\ell,\Lambda\), el Modelo-1 (o el Modelo-1 y el Modelo-2) debe utilizarse para capturar los efectos de tamaño. Tenga en cuenta también que la presencia de tensiones superficiales y de acoplamiento puede reducir (como \(a \ll \ell \sim \Lambda\)) o aumentar (como \(a \sim \ell \sim \sim \Lambda\)) el máximo transfiriendo el esfuerzo cortante al sustrato del caso clásico.

Perfiles de tensiones verticales y cortantes normalizadas en la dirección radial en la parte inferior de la capa de recubrimiento para \(h{/}a = 1\) y \(l_{0} = 1\): (a,d) \(a{ /}\ell = 0.01\), (b,e) \(a{/}\ell = 1\), y (c,f) \(a{/}\ell = 100\).

Perfiles a través del espesor de la tensión vertical \(\sigma_{zz}\) en \(r{/}a = 0\) para el caso de carga A y el caso de carga B y la tensión de corte \(\sigma_{zr }\) en \(r{/}a = 0.7\) para el Caso de carga C y el Caso de carga D también se informan en la Fig. 7 para \(h/a = 1\) y \(a{/}\ell \en \{ 0.01,1,100\}\). Los valores específicos de \(r{/}a\) utilizados para recopilar esos resultados están asociados con la ubicación donde alcanza la tensión de transferencia al sustrato (para el Caso de carga A y el Caso de carga B) o alcanza aproximadamente (para el Caso de carga C y cargue el Caso D) su máximo. Es evidente a partir de la Fig. 7a–c que la tensión vertical predicha por el Modelo-1, el Modelo-2 y el Modelo-3 disminuye más rápido que en el caso clásico a medida que aumenta la profundidad \(z\). Sin embargo, para el Caso de carga C y el Caso de carga D (ver Fig. 7d-f), el Modelo-2 tiende a aumentar la caída del esfuerzo cortante en el espesor de la capa de recubrimiento del caso clásico, pero el Modelo-3 parece para reducir tal decadencia. El modelo 1 que tiene en cuenta ambos efectos puede reducir (ver Fig. 7e) o aumentar (ver Fig. 7d) el decaimiento dependiendo de la relación \(a{/}\ell\). Para todos los casos de carga considerados, los perfiles a lo largo del espesor de los esfuerzos cortantes verticales y radiales dependen en gran medida de los efectos del esfuerzo superficial y del par cuando \(a\) es comparable a (ver Fig. 7b,e) o mucho menos que (ver Fig. 7a, d) \(\ell,\Lambda\) y para el último caso, se encuentra que el efecto de superficie es más pronunciado. Tenga en cuenta además que cambiar la distribución de las cargas superficiales aplicadas no altera la tendencia de la respuesta prevista.

Perfiles a través del espesor de tensión vertical normalizada en \(r{/}a = 0\) y tensión de corte en \(r{/}a = 0,7\) para \(h{/}a = 1\) y \(l_{0} = 1\): (a,d) \(a{/}\ell = 0.01\), (b,e) \(a{/}\ell = 1\), y (c ,f) \(a{/}\ell = 100\).

Para ilustrar aún más la influencia del espesor de la capa de revestimiento en la reducción de la tensión de transferencia en el sustrato cuando están presentes los efectos de la tensión superficial y de acoplamiento, las tensiones de corte y verticales de transferencia para el caso de las tensiones de corte normales y radiales aplicadas, obtenidas a partir de el Modelo-1, se reportan como una función del espesor normalizado \(h{/}a\) en la Fig. 8 para \(a{/}\ell \in \{ 0.01,1,100\}\). Dado que el papel de los efectos de la tensión superficial y del par para diferentes distribuciones de carga superficial es similar, el Caso de carga A y el Caso de carga C se eligen como casos de carga representativos para las tracciones de corte normal y radial aplicadas, respectivamente. Para el Caso de carga A, la tensión vertical de transferencia \(\sigma_{zz}\) se reporta en \(r{/}a = 0\) donde alcanza el máximo (ver Fig. 6a–c). Para este caso de carga, el aumento en el espesor de la capa de recubrimiento puede reducir significativamente la tensión vertical de transferencia máxima al sustrato tanto para el modelo clásico como para el Modelo-1. Sin embargo, la presencia de esfuerzos tanto de par como superficiales hace que dicha reducción sea más pronunciada cuando el tamaño de la región de carga cae dentro del rango o es mucho más pequeño que las escalas de longitud del material \(\ell,\Lambda\) (ver Fig. 8a). Para el último caso (como \(a \ll \ell \sim \Lambda\)), el efecto de superficie es la clave responsable de tal reducción sustancial del caso clásico. Para el Caso de carga C, se elige, por conveniencia, reportar el esfuerzo cortante radial transferido \(\sigma_{zr}\) en \(r{/}a = 0.7\) ya que la ubicación exacta del máximo \( r{/}a\) varía de 0.5 a 1 (ver Fig. 6d–f). Se ve a partir de este conjunto de resultados que, si bien la transferencia del esfuerzo cortante al sustrato disminuye monótona y asintóticamente hasta cero a medida que aumenta el espesor de la capa de recubrimiento cuando se tienen en cuenta tanto los esfuerzos superficiales como los de acoplamiento, la presencia de tales efectos puede mejorar (como \(a \sim \ell \sim \Lambda\)) o reducir (\(a \ll \ell \sim \Lambda\)) la transferencia del esfuerzo cortante del caso clásico. Además, el cambio de la dirección de la transferencia del esfuerzo cortante de la de la tracción cortante aplicada para un \(h{/}a\) suficientemente grande, como se observa en el caso clásico, desaparece cuando se eliminan los efectos del esfuerzo superficial y del par. significativo.

(a) tensión vertical de transferencia máxima normalizada para el caso de carga A y (b) tensión de corte de transferencia en \(r{/}a = 0,7\) para el caso de carga C frente al espesor normalizado de la capa de revestimiento. Los resultados se reportan para \(l_{0} = 1\) y \(a{/}\ell \in \{ 0.01,1,100\}\).

Finalmente, también se investigan las características dependientes del tamaño de las tensiones de transferencia previstas al sustrato. Para ilustrar claramente este comportamiento, el esfuerzo vertical de transferencia máximo para el Caso de carga A y el esfuerzo cortante de transferencia en \(r{/}a = 0.7\) para el Caso de carga C se reportan como una función de \(a{/} \ell\) en la Fig. 9 para \(h{/}a \in \{ 0.5,1,2\}\). Se ve que para cualquier relación de aspecto dada \(h{/}a\), las tensiones de transferencia normalizadas al sustrato obtenidas del Modelo-1 dependen en gran medida del tamaño o, de manera equivalente, dependen de la relación de escala de longitud \(a{ /}\ana\). A medida que \(a\) disminuye para ser comparable o menor que \(\ell\), la tensión vertical de transferencia máxima para el caso de carga A cae bastante rápida y monótonamente desde el valor predicho por el modelo clásico. El comportamiento diferente se observa para el caso de carga C. La variación del esfuerzo cortante transferido en un amplio rango de la relación \(a{/}\ell\) no es monótona; en particular, para \(a\) comparable o mayor que \(\ell,\Lambda\), el esfuerzo cortante de transferencia pronosticado del Modelo-1 es mayor que la solución clásica, mientras que la tendencia inversa puede concluirse cuando \( a\) es mucho menor que \(\ell ,\Lambda\). Para ambos casos de carga, la dependencia del tamaño se vuelve insignificante ya que el tamaño de la región de carga \(a\) es mucho mayor que las escalas de longitud del material \(\ell,\Lambda\), y el Modelo-4 es, por lo tanto, suficiente para las simulaciones.

Normalizado (a) esfuerzo vertical máximo transferido para el caso de carga A y (b) esfuerzo cortante transferido en \(r{/}a = 0.7\) para el caso de carga C frente a la relación \(a{/}\ell\). Los resultados se informan para \(l_{0} = 1\) y \(h{/}a \in \{ 0.5,1,2\}\).

Se ha derivado la solución analítica de un campo elástico de una capa de material delgado que recubre un sustrato rígido y excitado por cargas superficiales distribuidas de forma axisimétrica. Tales resultados establecidos se consideran novedosos en el sentido de que tanto la energía superficial libre como las microestructuras materiales, que se reconoce que son responsables de los efectos de tamaño en objetos de pequeña escala, se tienen en cuenta simultáneamente para modelar un medio de espesor finito. Esto permite la aplicación directa para simular la respuesta mecánica de componentes recubiertos por una capa de material muy delgada. Se ha formulado y resuelto mediante un esquema analítico basado en la transformada de Hankel y la representación del desplazamiento un modelo basado en un continuo que integra la teoría de la elasticidad de la tensión de pareja para abordar el efecto microestructural inherente y la teoría de la elasticidad de la superficie de Gurtin-Murdoch para capturar el efecto de la superficie. Los resultados obtenidos son explícitos en forma integral, altamente precisos como soluciones de referencia útiles y una base esencial para el desarrollo de esquemas de solución para abordar problemas de contacto con la superficie.

Los resultados de un extenso estudio numérico han revelado que las tensiones superficiales y de acoplamiento afectan significativamente tanto las características como el valor máximo de transferencia de carga al sustrato revestido en comparación con el caso clásico cuando el tamaño de la región de carga es comparable o mucho más pequeño que el escalas de longitud de materiales. Para un sistema revestido bajo tracciones normales, la presencia de tensiones superficiales y de acoplamiento puede aumentar significativamente la reducción de la transferencia de la tensión vertical al sustrato, especialmente cuando el tamaño de la región de carga es mucho menor que la escala de longitud de los materiales a granel y superficiales. Se ha observado una tendencia diferente en el caso de las cargas de corte aplicadas. La transferencia del esfuerzo cortante al sustrato predicho por el modelo que integra los efectos del esfuerzo superficial y del par puede ser menor o mayor que la solución clásica dependiendo de la relación entre el tamaño de la región de carga y las escalas de longitud del material. Esto se debe directamente a que el efecto de la superficie reduce la transferencia del esfuerzo cortante, pero el efecto del esfuerzo de acoplamiento provoca la tendencia inversa. Además, a medida que el tamaño de la región de carga se vuelve mucho más pequeño que las dos escalas de longitud del material, el efecto de la superficie es mucho más pronunciado que el efecto de la tensión de acoplamiento.

Los conjuntos de datos generados y/o analizados durante el estudio actual no están disponibles públicamente debido a que los datos también forman parte de un estudio en curso, pero están disponibles a través del autor correspondiente a pedido razonable.

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Este proyecto de investigación está financiado por el Consejo Nacional de Investigación de Tailandia (Subvención No. NRCT5-RSA63001-17) y el Fondo de Investigación de Tailandia (Subvención No. RTA6280012).

Departamento de Ingeniería Civil, Facultad de Ingeniería, Escuela de Ingeniería de Thammasat, Universidad de Thammasat, Pathumthani, 12120, Tailandia

Jintara Lawongkerd y Suraparb Keawsawasvong

Centro de Excelencia en Estructuras y Mecánica Aplicada, Departamento de Ingeniería Civil, Facultad de Ingeniería, Universidad de Chulalongkorn, Bangkok, 10330, Tailandia

Toan Minh Le, Wipavee Wongviboonsin y Jaroon Rungamornrat

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Suchart Limkatanyu

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Van Chung Nguyen

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JL: Software, Validación, Investigación, Redacción-preparación de borrador original; TML: Software, Investigación, Redacción-Revisión y Edición; WW: Software, Investigación, Redacción-Revisión y Edición; SK: Redacción-preparación de borrador original; SL: Adquisición de fondos, Conceptualización, Redacción-Revisión y Edición; CNV: Redacción-Revisión y Edición; JR: Captación de fondos, Conceptualización, Metodología, Supervisión, Redacción-Revisión y Edición.

Correspondencia a Jaroon Rungamornrat.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Lahongkerd, J., Le, TM, Wongviboonsin, W. et al. Solución elástica de capa cargada superficialmente con efectos de tensión superficial y de par. Informe científico 13, 1033 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-27705-1

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Recibido: 24 agosto 2022

Aceptado: 06 enero 2023

Publicado: 19 enero 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-27705-1

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